Музыка и математика

Главная » Познавательно » Музыка и математика

Музыканты прекрасно понимают какая связь существует между музыкой и математикой. Но человеку непосвященному, может показаться, что это совсем разные вещи. Музыка – творчество, а математика – наука.

Тем не менее, общего у них довольно много. Наша задача — разобраться в этом и выявить все точки соприкосновения музыки и математики.

Содержание статьи:

Что такое звук
Частота
Обертоны
Громкость
Продолжительность
Вклад Пифагора
Вклад Баха
Композиторы математики
Квинтовый круг

Звук — музыка или физика

Музыка — это в первую очередь звук. У звука есть ряд свойств, которые мы сейчас рассмотрим:

Частота
Обертоны
Громкость
Продолжительность

В музыкальном мире, все эти свойства называются иначе:

Частота – звуковысотность
Совокупность обертонов – тембр
Громкость – динамика
Продолжительность – длительность

Вы уже могли догадаться, что три составляющие относятся больше к физике, а одно — к математике. Давайте рассмотрим эти свойства по очереди.

Частота звука или звуковысотность

Представим себе гитару: самая толстая струна натянута не сильно, щипая ее звук получается низким, похожим на жужжание шмеля. А если мы щипнем самую тонкую струну, которая натянута гораздо сильнее, звук получится высоким, похожим на писк комара. Чем чаще колеблется тело издающее звук, тем выше будет этот звук. В данном случае телом можно назвать любой предмет, издающий звук – будь то струна балалайки или мембрана барабана.

Высота звука в физике называется частотой и измеряется в герцах (количество колебаний в секунду). Частота звука в музыке называется звуковысотностью. Ни один музыкант на свете не поймет, какую высоту звука передает нота, если она не располагается на нотном стане. Подробнее о том, как на пяти линейках нотного стана уживаются звуки самой разной высоты, читайте здесь.

Познавательно
Любопытно: нас всегда заставляют думать, будто звук плоский, а его диаграмма выглядит вот так:
Однако науке уже давно известно, что звук — это волна. А это значит, что звук объёмен и представляет собой спираль, но не совсем такую, какой вы ее представили.
Английский ученый Роберт Гук еще в 17 веке доказал, что что высота звука определяется частотой колебаний, а также он был первым кто сделал интересный опыт:
Гук взял металлическую пластину, насыпал на нее муку и начал возбуждать пластину скрипичным смычком. Мука на пластине приняла форму напоминающую снежинку или орнамент.

В наше время проделать этот опыт гораздо проще: под пластину ставят мощный динамик, после чего меняют частоту звука. Результатом опыта являются кружевные узоры на песке, который находится на пластине:

Обертон или тембр

Очень интересным свойством звука является обертон.

Обертоны – призвуки, входящие в спектр музыкального звука. В переводе с немецкого языка, обертон означает «высокий тон» или «высокий звук». А откуда берется этот высокий звук, сейчас и узнаем.

Струна колеблется целиком, вы сами это видели на видео про гитару. Но оказывается, каждая часть струны тоже вибрирует и издает звук. Не такой громкий как основной тон, но вполне ощутимый.

Еще Пифагор определил принцип, по которому возникают обертоны. Он заключается в следующем:

Первый обертон возникает от вибрации половины звучащего тела – в нашем случае струны. То есть, если мы зажмем струну в том месте, где она делится пополам, то звук получится в два раза выше, чем звук полной струны. Это и есть звучание первого обертона. Но чтобы услышать его в чистом виде, нужно использовать специальный прием – флажолет.

Теперь поделим струну на 3 равные части. Одна треть струны даст нам второй обертон. Затем делим струну на 4 части, получаем третий обертон и так далее.

Вот как выглядит колебание струны: 1 – Целая струна; 2 — ее половина – первый обертон; 3 — третья часть – второй обертон и т.д.

Посмотрите, как с помощью флажолетов можно извлечь обертона:

Пифагор установил, что первый обертон звучит выше основного тона на одну октаву. Второй обертон звучит выше первого на квинту; третий – выше второго на кварту; четвертый выше третьего на большую терцию. Потом пойдут малые терции, затем большие и малые секунды. Вот как выглядит обертоновый ряд от ноты до:

Именно от набора и относительной громкости обертонов зависит тембр инструмента, голоса. Именно благодаря тембру, мы можем отличать звук флейты от звука арфы, звук рояля от звука трубы.

Познавательно
Еще обертоны называют гармониками. Гитаристы в своей игре часто используют гармоники как художественный элемент.
Есть и такие мастера, которые вплетают в свою игру флажолеты так умело, что не сразу понятно сколько инструментов звучит. Послушайте как искусно использует гармоники Jaco Pastorius играя на бас-гитаре:

Громкость – динамика

Громкость звука в физике зависит от амплитуды колебания тела. Вернемся к нашей гитаре.

Если мы ущипнем струну аккуратно, ее колебания будут слабыми, их мы почти не заметим, а звучать она будет тихо. Если же ущипнуть струну как следует или даже дернуть, то она начнет колебаться сильно, звучать громко и эти колебания вы можете увидеть невооруженным глазом. Однако, если воспользоваться стробоскопом, колебание струн наблюдать станет куда удобнее:

С помощью диаграммы можно увидеть участки где звук был тихим, а где громким:

Продолжительность звука – длительность

Физические свойства звука мы рассмотрели, теперь дело за математической составляющей.

Тут все просто. Звук или есть, или его нет. Похоже на двоичную систему счисления. Но в музыке все несколько иначе – одни ноты звучат долго, другие имеют среднюю продолжительность, а третьи звучат совсем коротко.

Продолжительность звука в музыке называется длительностью. Ноты имеют разные длительности и в зависимости от этого по-разному выглядят. Подробнее о том, читать и считать ноты, вы можете узнать из этой статьи.

Познавательно
Звук передается не только по воздуху, но в воде и твердых веществах. Удивительно, но в твердых веществах звук распространяется быстрее, чем по воздуху.
Люди и сухопутные животные, слышат звук с помощью ушей. Барабанная перепонка в нашем ухе очень тонкая, она колеблется с частотой воздуха в окружающей среде. Перепонка передает вибрацию через мельчайшие косточки в орган, называемый средним ухом. Полученный из внешнего мира механический сигнал, в среднем ухе преобразуется в электрические импульсы и передается в мозг. Человек способен воспринимать звуки от 20 Гц до 16000 Гц, но с возрастом этот диапазон сужается. А вот рыбы, например, воспринимают звук боковой линией, которая передает сигналы во внутреннее ухо.

Что же общего у музыки и математики

Теперь мы знаем, что такое звук, знаем его природу и свойства. Так давайте порассуждаем, что общего у музыки (организованных по высоте и времени звуков) и математики.

Вклад Пифагора

Еще в Древней Греции математика и музыка шли бок о бок и считались сестрами. Со времен Пифагора (570-490 гг. до н.э.) наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.

С помощью математической формулы, Пифагор выяснил, какие пропорции существуют между звуками и какие из них лучше сочетаются между собой. Также, он создал свой музыкальный строй – Пифагорейский строй.

Также, пифогорейцы вычислили «золотую пропорцию» — конкретное место в музыкальном произведении, где должна быть кульминация.

Вклад Баха

Иоганн Себастьян Бах (1685-1750) популяризировал Темперированный музыкальный строй.

До Баха музыканты использовали разные строи, но они были не совершенны. Некоторые интервалы звучали как диссонансы, а [urlspan]тональности

[/urlspan] с большим количеством знаков давали фальшивое звучание. И.С. Бах был первым, кто начал использовать Темперированный строй в своих произведениях. Этим музыкальным строем мы пользуемся до сих пор. Вся современная музыка написана именно в нем. Каждый интервал в этом строе имеет формулу. Однако в те времена не было такой техники, которая могла бы помочь настроить инструмент так точно. Но Баху это было и не нужно. Он обладал великолепным слухом и легко настраивал инструмент без формул и вспомогательных устройств.

Темп и длительности

Как в математике существует понятие скорости, так и в музыке темп, обозначает скорость музыкального движения. А длительности нот можно сравнить с математическим понятием целых чисел и дробей.

Композиторы математики

Множество композиторов в основе музыкальных произведений используют заранее математические формулы. Основоположником додекафонии является Арнольд Шенберг. Также он считается основателемНововенской школы.

А сейчас, предлагаю послушать финал второго струнного квартета Шенберга. Начало атональной музыки связывают именно с ним.

Еще одним замечательным музыкантом-математиком является Том Лерер. Он занимался точными науками, но прославила его музыка. Большинство его песен связаны с наукой, преимущественно с математикой. В целом, песни Лерера носят сатирический характер, отличаются оригинальными и остроумными рифмами.

Одним из самых популярных произведений Тома Лерера является песня (речитатив) под названием «New Math». В ней автор, под музыку собственного сочинения занимается вычитанием 173 из 342 в десятичной и восьмеричной системах счисления.

Были и другие замечательные музыканты, которые плотно связаны с математикой. Среди них Филип Гласс, Ла Монте Янг, Стив Райх и Терри Райли.

Среди наших соотечественников хочется выделить Сергея Прокофьева. Он запомнился многим не только как выдающийся композитор, но и как отличный шахматист.

Прокофьев — автор музыки к фильму «Александр Невский». Режиссер фильма Сергей Эйзенштейн, обращался к композитору с просьбой, написать музыку ровно 2 минуты и 11 секунд. Прокофьев с легкостью выполнял требование.

Заключение

Музыка и математика действительно тесно связаны. В этой статье я раскрыл только часть из них. Но и эта часть, надеюсь, была убедительной.

Еще больше интересного о музыке вы можете узнать из других статей. Буду рад видеть вас в моей группе вконтакте и на youTube канале.